계단 오르기

문제

계단 오르기 게임은 계단 아래 시작점부터 계단 꼭대기에 위치한 도착점까지 가는 게임이다. <그림 1>과 같이 각각의 계단에는 일정한 점수가 쓰여 있는데 계단을 밟으면 그 계단에 쓰여 있는 점수를 얻게 된다.

<그림 1>

예를 들어 <그림 2>와 같이 시작점에서부터 첫 번째, 두 번째, 네 번째, 여섯 번째 계단을 밟아 도착점에 도달하면 총 점수는 10 + 20 + 25 + 20 = 75점이 된다.

<그림 2>

계단 오르는 데는 다음과 같은 규칙이 있다.

계단은 한 번에 한 계단씩 또는 두 계단씩 오를 수 있다. 즉, 한 계단을 밟으면서 이어서 다음 계단이나, 다음 다음 계단으로 오를 수 있다.
연속된 세 개의 계단을 모두 밟아서는 안 된다. 단, 시작점은 계단에 포함되지 않는다.
마지막 도착 계단은 반드시 밟아야 한다.

따라서 첫 번째 계단을 밟고 이어 두 번째 계단이나, 세 번째 계단으로 오를 수 있다. 하지만, 첫 번째 계단을 밟고 이어 네 번째 계단으로 올라가거나, 첫 번째, 두 번째, 세 번째 계단을 연속해서 모두 밟을 수는 없다.

각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어질 때 이 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력의 첫째 줄에 계단의 개수가 주어진다.

둘째 줄부터 한 줄에 하나씩 제일 아래에 놓인 계단부터 순서대로 각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어진다. 계단의 개수는 300이하의 자연수이고, 계단에 쓰여 있는 점수는 10,000이하의 자연수이다.

출력

첫째 줄에 계단 오르기 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 출력한다.

예제 입력 1 복사

예제 출력 1 복사

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt(); // 계단 개수
        int[] score = new int[N+1]; // 계단번호 1부터 시작, 계단별 점수 저장배열
        int[] D = new int[N+1]; // 점수최댓값 저장배열

        // 계단별 점수 입력받기
        for (int i=1; i<N+1; i++){
            score[i] = sc.nextInt();
        }

        if (N == 1){
            System.out.println(score[1]);
        } else if (N == 2) {
            System.out.println(score[1] + score[2]);
        }else{
            // 이미 아는 수 입력하기
            D[1] = score[1];
            D[2] = score[1] + score[2];
            D[3] = Math.max(score[1] + score[3], score[2] + score[3]);

            for (int i=4; i<N+1; i++){
                D[i] = Math.max(D[i-2] + score[i], D[i-3] + score[i-1] + score[i]);
            }

            System.out.println(D[N]);
        }
    }
}

다이나믹 프로그래밍을 활용한 문제
도착지점에 도착했을 때 얻을 수 있는 최대점수값을 얻으려고 한다.
계단오르기에는 2가지 선택지가 있다.
- 1칸 올라가기
- 2칸 올라가기
- 단, 1칸 올라가기는 연속3번은 올라가지 못한다.

이미 아는 수 입력하기

     // 이미 아는 수 입력하기
        D[1] = score[1];
        D[2] = score[1] + score[2];
        D[3] = Math.max(score[1] + score[3], score[2] + score[3]);

계단 개수 N을 입력받아서 배열 score에 저장한다.
만약 N이 3이상이라면 이미 아는 수를 위와 같이 입력할 수 있다.
1번째 계단 : score[1]과 동일하다
2번째 계단 : 1번째 계단에서 올라오는 경우밖에 없으므로 score[1] + score[2] 값이다.
3번째 계단 : 1번째계단에서 올라온 경우, 2번째 계단에서 올라온 경우 중 최댓값을 넣는다.

점화식 적용하기

for (int i=4; i<N+1; i++){
    D[i] = Math.max(D[i-2] + score[i], D[i-3] + score[i-1] + score[i]);
}

1칸 올라가기는 3번연속이상 하지 못한다는 규칙이 있다.
즉, 위 규칙을 만족하기 위해서는 2가지 선택으로 계단을 오를 수 있다.

i-2 → i
- i-2번째 계단에서 두 계단 올라옴
- i-1을 건너뛰므로 연속 3계단 X
- 점수: dp[i-2] + score[i]
i-3 → i-1 → i
- i-3번째 → i-1번째 → i번째 계단
- 중간에 i-2를 건너뛰므로 연속 3계단 X
- 점수: dp[i-3] + score[i-1] + score[i]

이 2가지 선택 중 max값으로 D[i]값을 채워넣는다.
최종적으로 D[N]값을 출력하면 정답